Matematika

Byl jednou jeden hodný a roztomilý Prvek. Kdekdo ho měl rád, ale Sjednocení a Průnik ho měli nejradši.

Sjednocení mu upletlo červený čepeček, a podle toho se mu říkalo Červený prvek.

Sjednocení bydlelo na samotě, v chaloupce za lesem. Nechtělo se stěhovat do vsi, protože si v chaloupce za lesem zvyklo - a co by si bez něj v zimě počali Prvočísla, Jednička a Složená čísla? Vždycky pro ně mělo nějakou matematickou hříčku či hádanku. Jednou v létě Průnik napekl hodně chutných doplňků a řekl Prvku: “Sjednocení u nás už jednu dvanáctinu roku nebylo. Dones mu to a vyřiď mu, ať se zastaví na šálek chutného cosinu.”

Prvek vzal košíček s doplňky a šel. Za jednu čtyřiadvacetinu dne se dostal za ves, přeběhl jeden trojúhelník, druhý trojúhelník, a už před ním stál les plný hodných Jedniček, protivných Prvočísel a Složených čísel. Když Prvek odpočíval u potůčku plného různě zbarvených Vennových diagramů, tak vtom se na druhé straně potoka rozhrnulo křoví, z kterého vyšlo Prvočíslo. “Dobrý den Prvku. Kampak, kam?” zeptalo se. Chtělo mluvit dobrácky, aby Prvka nepolekalo, ale neumělo to, v hubě mu skřípala dělitelnost pouze dvěma čísli.

Prvek nikdy předtím prvočíslo neviděl. Myslel si, že to je veliká Jednička. Zatřepal ručkama a řekl: “Dobrý den, Jedničko. Nesu k Sjednocenímu čerstvě pečené doplňky, chceš ochutnat?” Sáhl do košíku a hodil Prvočíslu doplněk. Prvočíslo přičichlo k doplňku a ošklíblo se.

“Doplněk množiny B v množině A nemáš?” ptalo se.

“Nemám,” odvětil prvek.

“Nevadí,” řeklo prvočíslo, “doplněk si nechám k večeři.” Doplněk mu nevoněl, nejraději by se byl pustil do Prvka. Ale nedaleko odtud praskaly větve a zněly hlasy party disjunktních množin, i bálo se Prvočíslo Prvku ublížiti.

“Kdepak bydlí Sjednocení?” ptalo se.

“Jakto, že to nevíš?” divil se prvek. “V chaloupce za lesem. Jde se kolem potoka, a pak při úhlu 39 stupňů a 39 minut a za chvíli jsi tam. ”

“Víš co, Prvku,” pravilo prvočíslo, “budeme závodit. Ty jdi dolů podle potůčku a já půjdu proti vodě. Schválně, kdo tam bude dřív.”

“To víš, že já Jedničko,” smál se Prvek, “půjdeš-li proti vodě, tak se nikdy k Sjednocení nedostaneš.” Hned vstal a běžel dolů podél potůčku.

Prvočíslo šlo kousek opačnou stranou, proti vodě. Když už ho Prvek nemohl vidět, tak skočil do houští a hnal se křovím. Hop, hop a hop - a už byl u dveří Sjednoceního. Zaklepal na dveře.

“Kdopak to klepe,” ozvalo se zevnitř Sjednocení.

“To jsem já, váš Prveček,” zavolalo sladce a tiše Prvočíslo.

“Ty ses nějak uběhl, Prvku,” ozvalo se ze světničky, “máš chraptivý hlásek.”

Sjednocení se už nemohlo Prvka dočkat a proto otevřelo dveře. Spatřilo Prvočíslo, vykřiklo strachem a chtělo mu přirazit dveře před nosem. Ale bylo slabé, Prvočíslo jej odstrčilo, vrhlo se na Sjednocení a pohltilo jej. Potom si nasadilo na nos jeho brýle a vzalo si jeho zamilovaný matematicko-fyzikální kalendář a dělalo, že čte.

Prvek byl dosud v lese. Nespěchal, jen si hrál s odmocnítkem. Ani ho nenapadlo, že by ho mohlo Prvočíslo předhonit.

Když konečně dorazil k chaloupce za lesem, tak zaťukal na dveře - ťuky, ťuky, ťuk. Zevnitř se ozvalo:

“Kdopak to ťuká?” Hlas byl hrubý, jako cizí, Prvek se zarazil.

“To jsem já, Sjednocení, váš Prveček,” zvolal.

“Pojď dál k Sjednocení, je odemčeno.”

Prvek otevřel dveře a vešel do světničky.

“Už jsem si Sjednocení myslil, že to nejste vy, ” pravil, když spatřil Sjednocení.

“Máte takový divný hlas.”

“Nediv se, Prvečku, uhřál jsem se a napil vody o teplotě 0,099 stupňů Celsiových, a tak trochu stůňu.”

Prvek nabídl doplňky Sjednocenímu. Prvočíslo se však přestalo přetvařovat za Sjednocení a vykřiklo:

“Doplňky nechci, raději tě sním !!!”

A jak to Prvočíslo řeklo, vyskočilo a Prvečka spolklo. Ta dvě sousta, Sjednocení a Prvek, ho náramně tížila. Svalilo se na zem a usnulo.

Kolem chalupy se procházela Jednička, dobrá známá Sjednoceního. Uslyšela ze světnice divné zvuky. Nakoukne okénkem a vidí, jak na zemi leží dvojciferné Prvočíslo. Jednička nemeškala a zavolala na pomoc Složené číslo, které rozřízlo Prvočíslo, a tak zachránilo Sjednoceního a Prvečka.

Nakonec Sjednocení uvařilo šálek lahodného cosinu a pohostilo návštěvu doplňky.

Před dvakrát dvěmasty a dvěma léty v jedné vesnici žila chudá Relace, která měla překrásnou dceru Zobrazení. Zůstávaly společně v jednom malém kartézském grafu s roztrhanou uzlovou střechou a měly v maličkém kurníku u potoka několik konjunkcí. Konjunkce jim snášely mnoho pravdivostních hodnot, a tak mohlo Zobrazení chodit každý den do městečka a prodávat je. Jejich konjunkce měly často pravdivostní hodnoty 1, a tak jim obchod vzkvétal. Mezitím chodila stařenka Relace do lesa na dřevo nebo na negace, aby měly co jíst.

Jednou se stařičká Relace trochu rozstonala, a tak muselo jít do lesa na negace Zobrazení. Vzalo si trochu tvrdé černé disjunkce a vyrazilo. Když mělo Zobrazení plný džbán slaďoučkých negací, kterých bylo všude hodně, vzala svou disjunkci a začala obědvat.

Najednou se odněkud vzala stará Množina. Držela v ruce malý oprýskaný kvantifikátor. Protože měla hlad, poprosila Zobrazení, jestli nemá něco k jídlu. Protože mělo Zobrazení dobré srdce, odepřelo si svůj oběd a dalo Množině zbytek své disjunkce. Že ona už nějak do kartézského grafu dojde. Stará Množina za ten kousek tvrdé disjunkce poděkovala a dala Zobrazení ten malý oprýskaný kvantifikátor. Řekla jí, že když bude mít chuť na implikaci, ať řekne “Kvantifikátore, vař” a bude mít tolik implikace, kolik bude chtít. Až jí bude mít dostatek, řekne “Kvantifikátore, dost” a kvantifikátor přestane vařit. Po chvíli stará Množina zmizela. Zobrazení vzalo do jedné ruky kvantifikátor, do druhé džbán plný negací a utíkalo domů, aby ukázalo Relaci, co dostalo.

Když přišla domů, postavila kvantifikátor na stůl a řekla: “Kvantifikátore, vař.” Najednou v kvantifikátoru zabublalo a začala se vařit implikace. Rázem byl kvantifikátor plný a Zobrazení řeklo: “Kvantifikátore, dost,” a kvantifikátor přestal vařit. Obě se tak najedly slaďoučké implikace, že mohly až prasknout. Po obědě vzalo Zobrazení do košíku několik pravdivostních hodnot a šlo je prodat do městečka na trh. Protože to byly pravdivostní hodnoty 0, špatně se prodávaly a lidé za ně nechtěli moc platit. Až úplně večer je prodala.

Mezitím dostala Relace obrovskou chuť na slaďoučkou implikaci. Došla do vedlejší jizby, donesla kvantifikátor do světnice a řekla: “Kvantifikátore, vař!” V kvantifikátoru zabublalo a začala se vařit implikace. Relace si odběhla pro misku a lžíci, ale mezitím už tekla implikace po stole. Protože měla stará Relace špatnou paměť, zapomněla, jak přestat dělat kaši. Přikryla tedy kvantifikátor miskou a utekla na chabou uzlovou střechu a bědovala, co jí to jen Zobrazení přineslo do kartézského grafu. Mezitím dole ve světnici miska spadla z kvantifikátoru na zem a rozbila. Implikace stále více přibývalo, že už vytékala z kartézského grafu a mířila si to k návsi. Kdo ví, jak by to všechno nakonec dopadlo, kdyby zrovna nepřiběhlo z města Zobrazení a nezvolalo: “Kvantifikátore dost!” Rázem přestal kvantifikátor vařit implikaci, ale ta už doplula na náves a na silnici. A když šli večer tamtudy kartézské součiny s dobytkem z roboty domů, nevěděly si rady, a tak se museli implikací prokousat.

Příběh se stal před dvě stě dvěma léty, a tak nikdo neví, je-li to skutečný příběh nebo jen vymyšlený. Pravda je ta, že v jednom kartézském grafu s chabou uzlovou střechou byl nalezen kvantifikátor a na něm zaschlá implikace.

Za devatero pravoúhlými trojúhelníky a devatero polopřímkami bylo malé Množinové království. V hlavním městě zvaném Podmnožina žil starý a moudrý král Prvek se svou dcerou X. Král Prvek byl již starý a tak si přál, aby se X brzy vdala a on mohl s klidným svědomím přenechat vládu nad Množinovým královstvím některému z princů, kteří se dvořili princezně X. Princezna X byla krásná, štíhlá a velmi silná, protože dělala kulturistiku. Její krásné a dlouhé nohy byly však trochu do “X”. Princezna nebyla jen krásná, ale také inteligentní. Každoročně vítězila v okresních kolech matematických olympiád. Matematika byla její velkou láskou. Princů se kolem ní motalo hodně, ale ona nejevila žádný zájem o vdavky. Jeden byl ošklivý, druhý hloupý, třetí lenivý, čtvrtý namyšlený, no prostě žádný princezně nevyhovoval. Protože princezna měla již plné zuby všech těch panáků, kteří kolem ní neúnavně kroužili, vymyslela si pro ně velmi těžký a snad i neřešitelný matematický úkol. Nikdo z princů nedokázal tak zapeklitý příklad vyřešit. Snad jen jeden se již blížil k řešení, avšak jednoho dne skočil ze samého vrcholu kružítka na frekventovanou přímku vedoucí do sousedního království.

Příklad byl opravdu velice složitý, jeho zadání na pergamenu strašilo řešitele za bezesných nocí. Rozhodněte, zda lze množinu 1, 2, ...1995 rozdělit na dvě skupiny tak, aby v první skupině bylo dvakrát více čísel než ve druhé skupině a aby součty v obou skupinách byly stejné.

V sousedním království žil král Výrok s jediným synem Y. Princ Y rád lovil zlomky a při jednom lovu zabloudil do Množinového království. Princ se při štvanici jednoho obzvláště rozvitého zlomku vzdálil své družině. Jeho kůň Vektor se zalekl množiny komolých kuželů třpytících se na cestě, uskočil a princ pokračoval v pohybu rovnoměrně přímočarém, postupně přecházející ve volný pád, ukončený velikým třeskem o komolé kužely.

Ležícího prince, který v blouznění mumlal matematické definice, nalezla princezna, skotačící náhodou kolem, v bezvědomí. Blouznící mládenec, kolem jehož hlavy kroužil roj hvězdiček s matematickými vzorci, se princezně na první pohled zalíbil. Vzhledem k tomu, že na první poslech nebylo o interpretaci Euklidových vět formálních nedostatků, pochopila, že to je ON.

Princezna nechtěla ponechat nic vrtošivé náhodě, která se často i k nadaným matematikům zachová macešsky a tak vsunula bezvědomému do ruky tahák s řešením matematického příkladu. Potom nechala prince odnést do zámku, kde byl posléze specialisty přiveden několika dobře mířenými elektrickými výboji k vědomí.

Princ samozřejmě netušil, že se od něho očekává, že by se měl ucházet o princeznu, pouze z vrozené zvědavosti se připojil ke skupince řešitelů. Bez použití taháku, který s odporem odhodil jako nedůstojný pravoměrného matematika, vyřešil hravě zadanou úlohu a sbíral se k odchodu. Princezna posmutněla, bylo jí líto, že tak nadaného matematika nezaujala její subtilní maličkost. Byla ale zároveň liškou podšitou a tak nenápadně naznačila jestli by se princ nechtěl podívat na její nové Pentium. Pak už ho měla pevně v hrsti. Programy byly za hubičku a brzy byla ruka v rukávě. Holt není nad to, když si to umíte spočítat.

Byl jednou jeden matematický dědek, který velmi rád řešil lomené výrazy. Nechával si je posílat z University v Lomeném království, kde jsou specializovaní lomení učitelé.

Jednou, jako mnohokrát, přišla matematickému dědkovi nová zásilka lomených výrazů. Ihned se vrhnul na jejich řešení a šlo mu to jako po másle. Jenže tentokrát nechtěl řešit lomené výrazy pomocí čísel. Někdo by mohl říct, že to není možné, jenže matematický dědek je matematický dědek. To čísla velmi matematicky rozzlobilo, ale než se na něco zmohla, měl už dědek všechny lomené výrazy vyřešené.

Mezitím uplynul nějaký čas a matematickému dědkovi přišla další zásilka lomených výrazů z University v Lomeném království. Ale tentokrát to byla zásilka velmi obtížných výrazů, které byly spojeny do jednoho obrovitánského a těžkého lomeného výrazu. A s tímto výrazem si ani matematický dědek nevěděl rady, a to už bylo co říct. A tak začal prosit dědek čísla, jestli by mu nechtěla pomoci, když tak ráda řeší lomené výrazy. Jenže čísla byla stále rozzlobená a dědkovi pomoci nechtěla. Inu, dědek se pokusil znovu řešit obrovitánský a těžký lomený výraz, ale ať řešil jak řešil, řešení ne a ne najít. Znovu tedy poprosil čísla, jestli by mu nepřišla na pomoc, ta sice stále ještě byla uražená, ale bylo jim už dědka líto, a zároveň je zajímalo řešení toho lomeného výrazu. A tak teta Množina všech čísel poslala matematickému dědkovi přirozená čísla. A dědek s přirozenými čísli řešili. Řeší, řeší, řeší, ale lomený výraz nevyřeší. A tak tedy požádal dědek tetu Množinu všech čísel, aby mu pomohla. Teta mu poslala čísla celá. A znovu řešili. Řeší, řeší, řeší, ale lomený výraz nevyřeší. Dědek opět požádal tetu Množinu všech čísel o pomoc, a ta mu poslala čísla racionální. A tak matematický dědek a racionální čísla řeší obrovitánský a těžký lomený výraz. Řeší, řeší, řeší, ale lomený výraz nevyřeší. Dědek si říkal, že to už snad není možné, a že tenhle obrovitánský a těžký lomený výraz nemá řešení. Ještě jednou požádal tetu Množinu všech čísel, aby mu pomohla. Ta mu poslala čísla reálná. A řekla, ať si dají záležet, protože kdyby to nevyřešila čísla reálná, tak by ten lomený výraz snad už neměl řešení, což by matematického dědka velmi rozzlobilo. A tak reálná čísla s matematickým dědkem řešili seč jim síly stačily. Řeší, řeší, řeší, až se lomený výraz otřásá v základech. A najednou je výsledek na světě.

Všichni se zaradovali a byli štěstím bez sebe. A tak matematický dědek poděkoval tetě Množině všech čísel, všem číslům a slíbil, že kdykoliv bude řešit nějaké lomené výrazy, vždy si pozve čísla na pomoc.

Za devatero horami a devatero řekami bylo jedno šťastné království. Celé království bylo utvořeno z číselných kombinací. Celému království vládli král a královna. Král se jmenoval Čtyřka IV. ze Čtyřkova. Královnino jméno bylo Trojka III. ze Čtyřkova, za svobodna se prý jmenovala Trojka III. ze Trojkova. Tomuto šťastnému páru se narodila malá princezna. Dali jí jméno Pětka V. ze Čtyřkova. Podle vrchního porodního dědka, Pythagora ze Samu, měla být malá princezna naprosto ideální dítě. Když dosadil jména obou rodičů a jejich dcery do rovnice dítě² = otec² + matka² , zjistil, že se obě strany rovnice rovnaly. Pythagoras svůj vzorec na výpočet dokonalého dítěte prosazoval i nadále. Podle ověřených zdrojů to jeho následovníci zkomolili natolik až to vypadalo takhle. Vzorec prý za několik set let začali používat nějací matematici. Ti prý se mylně domnívali, že jde o vztah mezi stranami v pravoúhlém trojúhelníku. Dokonce prý touto rovnicí mučili své studenty a žáky. Ale to jsme odbočili od děje. Jak bylo zvykem v tehdejší době, dítěti musely sudičky předpovědět osud. Ke kolébce malé Pětky přišla jen jedna sudička. Jmenovala se Mocnina. Už se skláněla nad kolébkou, když najednou celým hradem otřásla veliká rána. V síni se zjevila zlá a krutá sudička jménem Odmocnina, kterou královští rodiče zapomněli pozvat. Odmocnina se sklonila nad bezbrannou Pětkou a vyřkla svoji sudbu.” Až ti bude osmnáct, píchneš se o odmocnítko do prstu a budeš sto let spát.” Rodiče zapřísahali Odmocninu, aby svoji sudbu zrušila. Odmocnina však byla neústupná jako vždy, a jak se zjevila, tak také zmizela. Nad kolébku se nahnula druhá sudička Mocnina a počala předpovídat.”Až ulehneš ke stoletému spánku, přijde tě vysvobodit můj syn Exponent, umocní tě na čelo, a vše bude tak jak dřív.” V království probíhaly veliké změny. Byla zničena všechna odmocnítka. Nikdo se nesměl o odmocnítku ani zmínit. Pythagoras byl okamžitě propuštěn. Uplynulo skoro osmnáct let a všude se chystaly oslavy narozenin pro princeznu. Za pár dnů bylo Pětce konečně osmnáct. Po oslavách, které trvaly téměř týden, se šla Pětka projít po zámecké zahradě. Odhrnula křoví a spatřila chaloupku. Zaklepala a vstoupila dovnitř. Na stole leželo něco, co nikdy neviděla. Bylo to odmocnítko. Vzala ho neopatrně do ruky. Píchla se, skácela se k zemi a usnula. Zanedlouho se o tom to neštěstí dozvěděl Exponent s přezdívkou Druhý. Rozhodl se, že princeznu vysvobodí. Vzal meč, který mu zanechala jeho matka. Meč se jmenoval Mocnítko. Probíjel se všemi těmi odmocninami. Nebyl to snadný úkol, ale dokázal to. Před jeho zraky se objevila chaloupka. Vstoupil dovnitř a spatřil princeznu. Políbil Pětku. Pětka procitla a s ní celý kraj. Zanedlouho se slavila velká svatba Pětky a Exponenta. Zazvonil zvonec a pohádky je konec.

Bylo nebylo, uprostřed širé číselné osy, v malém útulném intervalu žil byl Záporníček Pacholíček. (Uprostřed číselné osy je totiž každý její bod.) Bydlel tam s ním také Jeden (číslo jedna), který se o něho staral.

Jenoho dne dostal Jeden chuť na šťavnatý integrál. I rozhodl se, že Záporníčka Pacholíčka nechá doma samotného a půjde se napást. Než odešel, dobře ho varoval: “Záporníčku Pacholíčku, neotvírej nikomu svůj interval. Tady v okolí se podlední dobou potulují všeljaké zlé funkce a výrazy, mohly by ti ublížit! Buď tady hodný a počkej, až se vrátím!” Záporníček Pacholíček mu odpověděl: “Neměj strach, Jedene, já to zvládnu. Dám si na sebe pozor.” Jeden si oddychl, usmál se a pečlivě zavřel interval. Potom odcválal na apseku pochutnat si na limitě a shodit parohy.

Uběhlo několik hodin a Záporníček Pacholíček se pomalu začínal nudit. Jeden mus sice slíbil, že až se vrátí, půjdou spolu navštívit číslo pí, ale ani tato myšlenka ho neuspokojovala. Koho by to taky bavilo, sedět ve svém intervalu a myslet na kamaráda, který se má lépe, než na královské hostině, že?

Najednou na uzvařený interval kdosi zaťukal. Záporníček Pacholíček, pamětliv Jedenova příkazu, se opatrně zeptal: “Kdo je tam?” Za ostrou závorkou se ozvaly tenké hlásky:

Chvilka ticha, potom se hlásky i představily: “My jsme hodné odmocninky!” Několik vteřin se nic nedělo, pak se ozvaly oněco hlasitěji:

V Záporníčkovi Pacholíčkovi zvítězila zvědavost. Změnil tedy ostré závorky na kulaté, a tím svůj interval otevřel. Odmocninky s chechotem vrazily dobnitř a toho malinkého chudáčka ihned odmocnily.

A protože Záporníček byl číslo záporné, po odmocnění se propadl kamsi mezi imaginární čísla a na reálnou osu už pro něj není návratu. Odmocninky se vesele rozběhly mezi záporná čísla a dělaly paseku dál.

Zanedlouho se vrátil Jeden. Cestou se totiž zapovídal s funkcí y = e ^x a poněkud se zdržel. Měl už docela starosti. A jaké bylo jeho zděšení, když našel interval otevřený a Záporníček nikde. I rozběhl se po číselné ose a jal se ho hledat. Jestli neumřel, běhá od nekonečna k nekonečnu dodnes. Dobrou noc, děti.